non liniear

BAB I
PENDAHULUAN


1.Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari banyak persoalan yang tidak bisa diselesaikan hanya dengan menggunakan teori. Persoalan-persoalan yang biasa dihadapi adalah hubungan suatu variabel dengan variabel lainya. Ada variabel yang mempengaruhi atau yang biasa disebut dengan variabel bebas dan lainya sebagai variabel yang dipengaruhi atau variabel terikat. Contoh dari permasalahan yang sering kita hadapi antara lain: hubungan sebab-akibat antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga. Masalah tersebut dapat dengan mudah dapat diselesaikan dengan menggunakan suatu fungsi.

Tetapi dalam masyarakat awam hubungan suatu linear masih asing. Belum banyak menggunakan persamaan atau hubungan nonlinear ini. Mereka beranggapan hubungan nonlinear yang berhubungan dengan atematika begitu sulit. Padahal hubungan nonlinear jika kita pelajari dengan seksama hubungan nonlinear tidak begitu sulit. 

Hubungan nonlinear mempunyai banyak manfaat dalam berbagai bidang terutama bidang ekonomi. Hubungan nonlinear digunakan untuk mengetahui variabel-variabel yang saling mempengaruhui. Banyak model-model hubungan nonlinear yang mendasarkan diri pada bentuk hubungan nonlinear.

2.Rumusan Masalah
2.1.Apakah komponen fungsi nonlinear ?
2.2.Bagaimana cara menyelesaikan fungsi dalam hubungan nonlinear ?
2.3.Bagaimana penerapan ekonomi menggunakan hubungan nonlinear ?
2.4.Bagaimana menghitung pendapatan seseorang menggunakan hubungan nonlinear ?

3.Tujuan
3.1.Untuk mengetahui fungsi – fungsi yang ada dalam hubungan nonliniear.
3.2.Untuk mengetahui cara menyelesaikan fungsi dalam hubungan nonliniear.
3.3.Untuk mengidentifikasi penerapan ekonomi menggunakan hubungan nonliniear.
3.4.Untuk menghitung pendapatan seseorang menggunakan hubungan nonliniear


















BAB II
PEMBAHASAN


Ada macam-macam bentuk fungsi non-linear yang paling sering dijumpai dalam analisi ekonomi merupakan titik perhatian, yaitu:
1.Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalh pangkat dua.Bentuk umum dari persamaan fungsi kuadrat adalah y = a + bx +cx , c≠0. Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan bentuk potongan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola.
1.Identifikasi Persamaan Kuadrat
Bentuk yang umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

   

Dari bentuk yang lebih umum ini,dapat diidentifikasikan gambar atau kurva dari persamaannya yakni sebagai berikut:
Jika p =0 dan a =b, ≠0, kurvanya sebuah lingkaran 
Jika – 4 ab ‹ 0, kurvanya sebuah elips
Jika – 4 ab › 0, kurvanya sebuah hiperbola
Jika – 4 ab = 0, kurvanya sebuah parabola
Apabila p = 0 dengan kata lain dalam persamaan kuadrat tersebut tidak terdapat suku yang mengandung xy, bentuk yang lebih umum tadi berkurang menjadi:




Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai berikut:
Jika , kurvanya sebuah lingkaran
Jika , tetapi bertanda sama, kurvanya berbentuk elips
Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

2.Lingkaran

Lingkaran secara geometri adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak terhadap pusat disebut jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran yaitu:







Bentuk baku rumus lingkaran yaitu:



Jadi,



Dengan memanfaatkan rumus ini, pusat dan jari-jari lingkaran akan lebih mudah dan cepat diketahui.

Contoh:
Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran 3x2 + 3y – 24 x - 18 – 33 = 0,tentukan juga perpotonganya pada masing-masing sumbu koordinat.
Jawab:
 3x2 + 3y2 – 24x – 18y = 33
3
X2 + y2 - 8x – 6y = 11
X2 – 8x2 + y – 6y = 11
X2 – 8x + k1 +y2 – 6y + k2 = 11 – k1 + k2
(x2 – 8 x + k1 )+ y2 – 6y + k2 = 11 + k1 + k2
(x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9)= 11 + 16 + 9
( x – 4 )2 + (y – 3)2 = 6 
Pusat lingkarannya adalah titik (4,3),jari – jari = 6



Perpotongan dengan sumbu -x : y = 0
3x2 – 24 x – 33 = 0 dengan rumus abc diperoleh 
X2 – 8x – 11 = 0 x1 = 9,19 dan x2 = - 1,19

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0
3y2 – 18y – 33 = 0 dengan rumus abc diperoleh
y2 – 6y – 11 = 0 y1 = 7,74 dan y2 = - 1,47
jadi,lingkaran tersebut memotong sumbu -x pada posisi x = 9,19 dan x = -1,19 serta memotong sumbu –y pada kedudukan y = 7,74 dan y =1,47

3.Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Bentuk umum persamaan elips:



setanda tapi tidak sama besar dengan b 
Bentuk baku rumus elips adalah:

  

Dimana I dan j mencerminkan koordinat pusat elips serta r1 dan r2 adalah jari-jarinya.

Contoh :
Tentukan pusat dan jari –jari elips 8x2 + 2y2 – 32x – 12y = 0
Tentukan juga perpotongannya ,pada masing–masing sumbu koordinat

Jawab:
8x2 + 2y2 – 32x – 12y = - 18  
2
4x2 + y2 – 16 x – 6y = -9
4x2 – 16 x + y2 – 6y = -9
4x2 – 16x + k1 + y2 – 6y + k2 = -9 + k1 + k2
(4x2 – 16x + 16) + (y2 – 6y + 9) = -9 + 16 +9
4(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16  
16
(x – 2)2 + ( y – 3)2 = 1
4 16
i = 2 , j = 3 pusat elipsnya dalah titik (2,3).karena r1 < r2 sumbu mayor 
r1 = 2 , r2 = 4 sumbu mayor elips / / sumbu vertical - y , r1 = jari – jari pendek dan r2 = jari- jari panjang.

Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0
8x2 – 32x + 18 = 0
Dengan rumus abc diperoleh x1 = 3,32 dan x2 = 0,68

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0
2y2 – 12y + 18 = 0 ( y – 3)2 = 0
y2 – 6y + 9 = 0 y1 = y2 = 3


4.Hiperbola
































Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu konstan. Bentuk umu persamaan hiperbola yaitu:



berlawanan tanda dengan b 

Bentuk baku rumus hiperbola yaitu:


Sumbu lintang//sumbu –x

 
Sumbu lintang//sumbu -y
Persamaan untuk asimtot-asimtotnya dapat dicari melalui bentuk rumus baku yaitu:



Dalam hal m=n, asimtot-asimtotnya akan saling tegak lurus, sumbu lintangnya tidak akan lagi sejajar dengan salah stu sumbu koordinatnya, hiperbolanyadisebut hiperbola sama sisi (equilateral hyperbola).

Contoh :
Tentukan pusat dan asimtot – asimtot dari hiperbola 16x – 64x – 9x + 18y = 89.tentukan juga perpotongan nya pada masing – masing sumbu koordinat.

16x2 – 64x + 9y2 + 18y =89
16x2 – 64x + 64 – 9y2 + 18y – 9 = 89 + 64 – 9
16(x2 - 4x + 4) – 9( y2 - 2y + 1) = 144
16(x – 2)2 – 9(y -1)2 =144 
144
(x – 2)2 – (y - 1)2 = 1
9 16
( x – 2)2 – ( y – 1)2 =1 i = 2 , j = 1,m = 3,n = 4 
3 4
Pusat hiperbolanya adalah titik (2,1).karena persamaannya memenuhi rumus baku (x – i)2 / m2 - (y – j)2 / n2 = 1,berarti sumbu lintangnya sejajar dengan sumbu –x.

Asimtotnya – asimtotnya
x-im=±y-jn→x-23=±y-14






Jika x = 0, y = -1,67 Jika x = 0, y = 3,67
Jika y = 0, x = 1,25 Jika y = 0, x = 2,75

Perpotongan dengan sumbu –x : y = 0
16x2 – 64x – 89 = 0, diperoleh x1 = 5,09 dan x2 = -1,09

Perpotongan dengan sumbu –y : x = 0
9y2 – 18y + 89 = 0, diperoleh y1 =y2 = bilangan khayal.
Tidak terdapat perpotongan dengan sumbu –y.

5.Parabola

Parabola ialah tempat kedudukan titk-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola memiliki sumbu simetri yaitu berupa garis yang sejajar dengan sumbu vertical y atau sejajar dengan sumbu horizontal x dan mempunyai titik ekstrim yaitu titik potong antarasumbu simetri dan parabola yang bersangkutan. Bentuk umum persamaan parabola adalah:



Untuk mencari titik ekstrim parabola (i, j) dengan:
















2.Fungsi Kubik

Fungsi kubik atau fungsi berderarajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah tiga. Bentuk umum persamaan fungsi kubik adalah:





Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Fungsi kubik mungkin pula memiliki satu titik ekstrim atau dua titik ekstrim. Terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik. Kemungkinan-kemungkinan tersebutdiperlihatkan oleh gambar-gambar berikut : 








3.Penerapan Ekonomi
1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd=Qs 

Fungsi permintaan akan suatu barang QD = 19 - P2 sedangkan penawarannya QS = -8 + 2P2.

Keseimbangan :
QD = QS 
19.- P2 = -8 + 2P2 
  27 = 3 P2
P = 3
Q = 10

  P Keseimbangan Pasar:
  Qs Qd=Qs
  Qd= jumlah permintaan
  Qs= jumlah penawaran
  Pe E E= Titik keseimbangan
  Pe= harga keseimbangan
  Qe= jumlah keseimbangan
  Qd
1. Q
  Qe  

Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

Jika kemudian dikenakan pajak Rp 1 maka 
QS` = -8 + 2(P-1)2
  = -6 – 4P + 2P2

Keseimbangan baru 
QD = QS1 
19 - P2 = -6 – 4P + 2P2 
0 = 3 P2 – 4P - 25
P = 3,63
Q = 5,82




2.Fungsi Biaya

Rumus dari macam-macam biaya:

Biaya tetap : FC=k (k: konstanta)
Biaya variable : VC=f(Q)
Biaya total : C = FC + VC = k + f(Q) = c(Q)
Biaya tetap rata-rata :
Biaya rata-rata :
Biaya marjinal :


Salah satu bentuk kurvanya adalah:



Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan adalah C = 2Q2 - 24Q + 102. Pada tingkat produksi berapakah biaya minimum? Berapa besarnya biaya minimum? Berapa besarnya biaya marginal jika unit barang ditambah 1 unit? 
C minimum bila unit 

Besarnya C minimum = 2Q2 - 24Q + 102
  = 2(36) – (24.6) + 102 =30

atau 

FC = 102
VC = 2Q2 - 24Q = -72 





Jika Q = 6+1 = 7 maka C = (2.49) – 24(7) + 102 = 32

3.Fungsi penerimaan

Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue) yang non-linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka kebawah. Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali jumlah barang dengan harga barang per unit. Rumus dari macam-macam penerimaan yaitu:

Penerimaan Total : 
Penerimaan rata-rata : 
Penerimaan marjinal :  

Fungsi penerimaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan oleh P= 900 – 1,5Q.bagaimana persamaan totalnya?berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200unit dan berapa harga jual atau unit?hitung penerimaan marginal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit.tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimumdan besarnya penerimaan total maksimum tersebut..

Jawab :
P=900 – 1,5Q R = Q X P =900Q – 1,5Q2
Jika Q = 200 R= 900(200) – 1,5(200)2 = 120.000

P = 900 – 1,5(200) = 600

Jika Q = 250 R= 900 (250) – 1,5(250)2 = 131.250



R=-1,5Q2 + 900Q

R maksimum pada Q =-b2a=--900-3=300
Besar R max =-1,5(300)+900(300)=135.000

4. Keuntungan, Kerugian, dan Pulang-pokok

Tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan, kerugian, pulang pokok secara grafik dapat dilihat sebagai berikut: 


TPP = Titik Pulang-Pokok

Area di sebelah kiri dan di sebelah kanan mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil daripada pengeluaran total, R <> C. Tingkat produksi mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C.

5.Fungsi Utilitas

Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai puncaknya pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru berkurangatau negative bila jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus bertambah. Persamaan utilitas total dari mengkonsumsi suatu barang berupa fungsi kuadrat parabolic, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawqah. Utilitas marginal adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dikonsumsi.
  U






 U = f(Q)






 0 Q
 
Utilitas Total : 
Utilitas Marginal : 

Utilitas total mencapai puncak ketika uitlitas marginal nol, dan berkurang ketika utilitas marginal negative.


6.Fungsi Produksi

Bentuk fungsi produk total (total product) yang non-linear pada umumnya berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak. Beberapa rumus dalam fungsi produksi yaitu:


  Produk total :
Produk rata-rata : 
Produk marjinal : 

Fungsi produksi yang dihadapi seorang produsen ditunjukkan oleh P=9x2- x3.bentuklah persamaan produk rata- ratanya serta hitung produk total dan produk rata-rata tersebut jika digunkan msukan sebanyak 6 unit .berapa produk marginalnya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit?
P=9x2-x3→AP=px=9x-x2

untuk x=6=P62-63=108
AP=96-62=1086=18

jika x=7→P=972-73=98
MP=∆P∆X=98-1087-6=-10

7.Kurva Transformasi Produk
Adalah kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu. Kurva ini dikenal juga dengan sebutan kurva kemungkinan produksi (Production Possibility).Kurva transformasi produk yang kuadratik dapat berupa potongan-potongan lingkaran, elips, hiperbola maupun potongan parabola.

8.Model Distribusi Pendapatan Pareto
Menurut Vilfredo Pareto jumlah penduduk disuatu populasi dari suatu a yang melebihi pendapatan adalah:












Dimana n merupakan suatu parameter atau besaran populasi tertentu pada umumnya berkisar pada 1,5 kecuali ditentukan lain, nilai b = 1,5. Modal distribusi pendapatan versi pareto ini mencerminkan sebuah hiperbola sama sisi untuk rentang 0 < N ≤ a dan 0 < x < pendapatan maximum dalam populasi.

Contoh s
Hukum pareto mengenai tagihan (distribusi) pendapatan dalam suatu masyarakat adalah y=1,25 . 1012x-3/2 hitung:
a.Jumlah orang yang berpendapatan 1juta
b.Jumlah orang yang berpendapatan antara 10000 dan 16000
c.Pendapatan terendah daripada 10 orang yang terkaya
Jawab:

a.y = 1,25 .1012(1063/2=1250
b.jumlah orang yang berpendapatan diatas 10000 adalah
y = 1,25.1012(10000)3/2=1,25.106
jumlah orang yang berpendapatan diatas 16000 adalah
y= 1,25.1012(250000)3/2= 104
jumlah orang berpendapatan antara 10000 dan 250000 ada 125.104 – 104 =1.24.106
c.10=1,25 .10121032
X3/2 = 125.109 x = 25.106
Data- data sejak pereto mengemukakan hukumnya itu telah menentang hokum itu baik mengenai sifat umumnya maupaun mengenai titik dapat diubah cara tagihan pendapatan , namun rumus pareto berlaku juga secara pendekatan bagi penduduk dengan pendapatan yang lebih dari cukup untuk hidup .  

4.Fungsi Eksponensial

Ialah suatu fungsi dari suatu konstanta berpangkat variable bebas. Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum yaitu:
   
Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c.
Titik potong kurva eksponensial pada sumbu –x ialah  

 , sedangkan pada sumbu –y ialah (0, n+c).


Contoh soal :
Tentukan titik potong kurva eksponensial y= 2 e0,5x – 4 pada masing –masing sumbu dan hitunglah f(3)?
Pada sumbu –x : y = 0
2 e0,5x = 4
e0,5x =2
In e0,5x = In 2
0,5 x In e =In 2 (In e = 1)
0,5x =0,69
  = 1,39
Titik potongnya : (1,39;0)

Pada sumbu –y : x =0
y =2 e0,5(0) – 4
y =2 e0 – 4
y =2 – 4 = -2
titik potongnya : (0;-2)
untuk x = 3
y= 2e1,5 – 4
y = 2(4,48) – 4
y =4,96
[bandingkan kurva pada gambar 7-25 ini dengan kurva pada gambar 7-23(e) di depan].

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = -3 e2x + 6 pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (4) !

Untuk y = 0, 3 e2x = 6, 2 x ln e = ln 2, 2 x = 0,69 x = 0,35
Untuk x = 0, y = -3 e0 + 6 = -3 + 6 = 3
Jika x = 4, y = -3 e8 + 6 = -3 (2980,96) + 6 = -8936,87
[Pola kurvanya seperti kurva pada Gambar 7-24(a); dengan asimtot y = 6, memotong sumbu –x pada (0,35;0) dan memotong sumbu –y pada (0;3)].


5.Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, variable bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk fungsi logaritmik yang umum yaitu:

  n>-1

Kurvanya terletak disebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1

Contoh soal:
Tentukan titik potong kurva logaritmik y=2ln(1+x)+6 pada masing-masing sumbu dan hitunglah f(4).
Untuk y=0, 2ln(1+x) =-6 ,ln(1+x)=-3,1+x=e-3,1+x=0,0498,x=-0.9502
Titik potong dengan sumbu –x (-0,9502;0)
Untuk x=0 ,y=6.titik potong dengan sumbu –y:(0;6)
Jika x=4,y= 2ln5+6=2(1,6094)+6=9,2188




6.Penerapan Ekonomi

Salah satu penerapan dalam ekonomi adalah model efisiensi Wright. Kurva ini berfungsi untuk mengembangkan model eksponensial yang dapat menjelaskan efisiensi waktu dalam kegiatan produksi.Rumus dari model efisiensi Wright yakni:

   


Dimana a mencerminkan waktu yang diperlukan untuk memproduksi unit pertama dari produk yang dihasilkan, q mencerminkan jumlah produksi, r adalah tingkat efisiensi waktu produksi, sedangkan t melambangkan waktu produksi rata-rata kumulatif.

1.Model Bunga Majemuk

   


Dimana Fn melambangkan jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun,P melambngkan jumlah sekarang (tahun ke0),I adalah tingkat bunga pertahun ,m adalah frekuensi pembayaran bunga dalam setahun dan jumlah setahun.

Model bunga majemuk ini tak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial ,dengan Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable) dengan demikian prinsip – prinsip persamaan eksponensial diterapakn atas model ini.


   


e≈2,72

Bentuk ini dinamakan model bentuk majemuk sinambung (continouse compound interest).

Contoh soal:
Seoarang ibu rumah tangga meminjam uang Rp 5 juta pada seorang pelepas uang untuk jangka waktu 2 tahun .bunga setingkat 10% per tahun diperhitungkan secara harian (dalam bisnis :1 tahun =360hari).hitnglah jumlah yang harus dibayarkan oleh debitor pada saat hutangnya jatuh tempo.
.Dengan rumus bunga majemuk biasa
Fn=P(1+im)mn
Tanpa menggunakan logaritma
F2=5000.0001+0,10360360x2
= 5.000.000 (1,003)720
  = 5.000.000 (1,24) = 6,200.000

Dengan menggunakan logaritma :
F2= 5.000.000 (1,0003)720 
Log F2= log 5000.000+720 log 1,0003
Log F2 =6,70+0,09
Log F2= 6,79 F2=6.200,000

II.Dengan rumus bunga majemuk sinambung : Fn ≈ Pe in

tanpa menggunakan logaritma :
F2≈5.000.000 e0,10x2
  ≈ 5.000.000 e0,20≈ 5.000.000 (1,22)≈6.100.000

b.dengan menggunakan logaritma :
F2≈ 5.000.000e0,20  
In F2 ≈ In 5.000.000 + 0,20 In e
  In F2 ≈ 15,42 + 0,20
  In F2 ≈ 15,62 → F2 ≈ 6.100.000
Jadi ,jumlah pelunasan hutang tersebut dalah sekitar Rp 6,10 juta atau tepatnya Rp 6,20 juta.

2.Model Pertumbuhan

Model pertumbuhan penduduk yang diperkenalkan di dalam Seksi 4.3.3 di depan, yakni 






tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial, dengan Pt (jumlah penduduk) sebagai variabel terikat dan t (waktu) sebagai variabel bebas. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel lain berkenaan dengan pertumbuhannya.

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel, sehingga jalan pikiran kita tidak semata-mata terpaku pada persoalan kependudukan, maka perlu dilakukan sedikit perubahan notasi menjadi:

  



di mana N melambangkan variabel yang sedang diamati, r ialah persentase pertumbuhannya per satuan waktu tertentu, sedangkan t adalah indeks waktu.

Contoh Soal 1:
Lembaga Penelitian Ekonomi Nasional memiliki operasinya dengan 10 orang peneliti. Setiap tahun setiap peneliti merekrut 2 orang peneliti baru. Berapa orang jumlah tenaga peneliti dilembaga tersebut setelah beroperasi 5 tahun?

N1 = 10
R = 1 + 2
t = 5

N1 = N1R1-I
N5 = (10)(3)5-1
N5 = (10)(81) = 810 orang

Contoh Soal 2:
Produk Domestik Bruto Indonesia pada tahun 1981, menurut harga konstan tahun 1973, tercatat sebesar Rp 12.055 milyar. Jika dalam periode konstan 1981-1990 perekonomian bertumbuh dengan rata-rata 5% per tahun, berapa PDB tahun 1990?

 
N1 = 12.055 (milyar)
R = 1 + 0,05 
t = 10

N10 = (12.055)(1,05)9
N10 = (12.055)(1,55)
N10 = 18.685,25 milyar

3.Kurva Gompertz

Model pertumbuhan dalam Seksi 7.6.2 di atas, yang kurva eksponensialnya seperti Gambar 7-22 di depan, mengandung arti bahwa variabel terikat N dapat terus menerus membesar (tanpa batas maksimum) seiring dengan perkembangan waktu. Sesungguhnya tidak semua variabel bisnis atau ekonomi berpola demikian. 

Ada variabel-variabel terentu yang mempunyai batas maksimum dalam kaitannya dengan perkembangan waktu. Variabel ini meningkat secara eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangat kecil atau bahkan tidak berarti, meskipun waktu terus berjalan. 

 Dengan perkataan lain, N cenderung asimtotik terhadap batas maksimum tertentu kendati t tetap membesar.

Untuk menganalisis variabel yang gejalanya demikian (asimtotik terhadap batas-jenuh tertentu), model pertumbuhan yang tepat untuk diterapkan adalah model pertumbuhan Gompertz. Model ini didasarkan atas bentuk atau pola kurva Gompertz, yang bentuk persamaannya :

N=cart
di mana N melambangkan jumlah variabel tertentu yang sedang diamati, r melambangkan tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1), a melambangkan proporsi pertumbuhan awal, c melambangkan batas-jenuh pertumbuhan N (merupakan asimtot atas), sedangkan t adalah indeks waktu.

Kurva Gompertz mempunyai dua tipe dasar yakni:


   







Kurva Tipe I meningkat dengan pertambahan yang membesar (positively accelerated) untuk nilai-nilai t positif yang kecil, tetapi meningkat dengan pertambahan yang mengecil (negatively accelerated) untuk nilai-nilai t positif yang besar. Sedangkan kurva Tipe II meningkat dengan pertambahan yang mengecil untuk semua nilai t positif.

  Kurva yang ditemukan oleh Gompertz ini semula digunakan secara meluas oleh para psikolog, untuk menggambarkan berbagai aspek pertumbuhan dan perkembangan jiwa manusia. Ahli-ahli organisasi memakainya untuk menggambarkan pertumbuhan berbagai bentuk organisasi. Kemudian para ekonom memanfaatkannya pula karena dipandang relevan untuk menggambarkan pola pertumbuhan beberapa variabel bisnis dan ekonomi tertentu.



Contoh soal 1:
Sebuah supermarket di Malang mempekerjakan 20 orang karyawan pada permulaan operasinya. Karena usahanya berkembang, jumlah karyawan yang dipekerjakan meningkat rata-rata 25% per tahun. Berdasarkan pertimbangan bisnis, sang manajer memutuskan tidak akan mempekerjakan lebih dari 400 orang karyawan. Bentuklah persamaan penggunaan tenaga kerja di pasar swalayan ini dalam hubungann dengan perkembangan waktu. Berapa jumlah karyawan yang dipekerjakan setelah pasar swalayan tersebut beroperasi 4 tahun ?

Jawab:
a = 20 / 400
c = 400
r = 0,25

N=ca
N=(400)(0,05)0,25t

Untuk t = 4
N=400(0,05)0,254
logN=log400+0,254log0,05
logN=2,6021+0,0039(-1,3010)
logN=2,6021-0,0051
logN=2,5970
N=395,3539
N=395 orang

Contoh soal 2:
Biaya total (dalam jutaan rupiah) yang dikeluarkan untuk proyek pembangunan sebuah jembatan ditunjukkan oleh persamaan
C=800(0,10)0,40t

di mana t menunjukkan jumlah tahun sejak proyek dimulai. Berapa pengeluaran awal proyek tersebut ? Berapa total pengeluaran maksimum yang diperkenankan ? Berapa biaya total yang dikeluarkan setelah proyek berjalan 6 tahun ?

Pengeluaran awal ≡ C pada t = 0, yaitu:
C = 800(0,10) = 80 juta rupiah

Pengeluaran total maksimum ≡ c = 800 juta rupiah

Setelah proyek berjalan 6 tahun:
C=800(0,10)0,406
logC= log800+0,0041log0,10
logC=2,9031+0,0041(-1)
logC=2,899
C=792,48 juta rupiah

4.Kurva Belajar

Dinamakan demikian karena memang semua diterapkan untuk mengamati hal-hal yang berhubungan dengan kegiatan belajar. 

y=m-se-kx k, m, s>0

Untuk diterapkan pada kasus perilaku produksi dalam hubungannya dengan variabel waktu, notasinya dapat disesuaikan menjadi : 

P=Pm-Psert

Contoh soal 1:
Jika banyak barang yang diproduksi per hari (y) dan x hari setelah produksi permulaan dimulai diwakili oleh fungsi y = 200(1-e-0,1x), berapa banyak yang diproduksi selama 10 hari setelah produksi permulaan dimulai dan berapa % dari maksimum fungsi ini?

Jawab:
y = 200(1-e-0,1.10)
y = 200(1-e-1)
y = 200(1-0,368)
y = 200.0,632 = 126,4 ≈ 126
persentase produksi = y/200 =126/200 = 63,2%

Contoh soal 2:
Kapasitas produksi maksimum 4000 kaleng per bulan. Pada awal produksi dihasilkan 75% dari kapasitas produksi. Manajer yakin produksi dapat meningkat 5% per bulan. Berapa kaleng yang dihasilkan selama 10 bulan?

Jawab:
Produksi awal = 75%.4000 = 3.000
Ps = 25%.Pm = Pm – 3000 = 1000
P = Pm – Ps.e-rt 
= 4000-1000.e-0,05.t
= 4000-1000.e-0,5
= 3393,5








5.Model Efisiensi Wright

Hubungan antara jumlah produksi dan tahap pelipatgandaan produksi dapat diterangkan dengan persamaan : 

qk=q0.2k

Hubungan eksponensial antara waktu produksi rata-rata kumulatif (t) dan tahap pelipatgandaan produksi (k) ditunjukkan oleh persamaan : 

t=ark

Bentuk anti-log persamaan inilah yan disebut model efisiensi wright, yakni :

t=aqb b=logr0,3010

Waktu produksi total dapat dihitung dengan cara mengalikan waktu produksi rata-rata komulatif (t) terhadap jumlah produksinya (q): 

T=t×q=aqb×q=aqt+b



Contoh soal:
Sebuah perusahaan menghabiskan waktu 10.000 jam kerja untuk memproduksi 500 unit barang dan hanya membutuhkan 600 jam kerja untuk memproduksi 500 unit berikutnya. Hitung tingkat efisiensi dan waktu untuk memproduksi 2000 unit robot!

Jawab:
Waktu rata-rata 500 unit = 10.000/500 = 20
Waktu rata-rata 1000 unit = 16000/1000 = 16
Penghematan = 4 = 4/20 = 20%
Tingkat efisiensi = 100% - 20% = 80%
Waktu yang diperlukan untuk 1000 unit selanjutnya = 80% x 16 x 1000 = 12.800
Waktu total yang dibutuhkan untuk 2000 unit = 10.000 + 6.000 + 12.800 = 28.800 

Atau 

r = 80%
b = log r/0,3010 = -0,3219
t = aqb 
20 = a.500-0,3219 ® a = 147,85
T = aq1+b
=147,85.20000,6781
= 26.620











BAB III
PENUTUP


1. Kesimpulan.

  Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalh pangkat dua.Bentuk umum dari persamaan fungsi kuadrat adalah y = a + bx +cx , c≠0
   


   

Dari bentuk yang lebih umum ini,dapat diidentifikasikan gambar atau kurva dari persamaannya yakni sebagai berikut:
Jika p =0 dan a =b, ≠0, kurvanya sebuah lingkaran 
Jika – 4 ab ‹ 0, kurvanya sebuah elips
Jika – 4 ab › 0, kurvanya sebuah hiperbola
Jika – 4 ab = 0, kurvanya sebuah parabola

   

Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai berikut:
Jika , kurvanya sebuah lingkaran
Jika , tetapi bertanda sama, kurvanya berbentuk elips
Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola

Fungsi Kubik
Fungsi kubik atau fungsi berderarajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah tiga. Bentuk umum persamaan fungsi kubik adalah:
   

Penerapan Ekonomi

  Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd=Qs.
Fungsi permintaan akan suatu barang QD = 19 - P2 sedangkan penawarannya QS = -8 + 2P2.
Fungsi Biaya
  Rumus dari macam-macam biaya
Biaya tetap : FC=k (k: konstanta)
Biaya variable : VC=f(Q)
Biaya total : C = FC + VC = k + f(Q) = c(Q)
Biaya tetap rata-rata :
Biaya rata-rata :
Biaya marjinal :


Fungsi penerimaan
Penerimaan Total : 
Penerimaan rata-rata : 
Penerimaan marjinal :  





Fungsi Utilitas

  Utilitas Total : 
  Utilitas Marginal : 
Fungsi Produksi

  Produk total :
Produk rata-rata : 
Produk marjinal : 

Kurva Transformasi Produk
Adalah kurva yang menunjukkan pilihan kombinasi jumlah produksi dua macam barang dengan menggunakan masukan yang sama sejumlah tertentu.

Model Distribusi Pendapatan Pareto
Modal distribusi pendapatan versi pareto ini mencerminkan sebuah hiperbola sama sisi untuk rentang 0 < N ≤ a dan 0 < x < pendapatan maximum dalam populasi.
Fungsi Eksponensial

   
Kurvanya asimtotik terhadap garis y = c.
Titik potong kurva eksponensial pada sumbu –x ialah  

, sedangkan pada sumbu –y ialah (0, n+c).

Fungsi Logaritmik
   
n>-1





Penerapan Ekonomi model efisiensi Wright

  Model Bunga Majemuk
Fn=P(1+im)mn
  Model Pertumbuhan





   

di mana N melambangkan variabel yang sedang diamati, r ialah persentase pertumbuhannya per satuan waktu tertentu, sedangkan t adalah indeks waktu. Pt (jumlah penduduk) sebagai variabel terikat dan t (waktu) sebagai variabel bebas

Kurva Gompertz
N=cart
Ket :
di mana N melambangkan jumlah variabel tertentu yang sedang diamati, r melambangkan tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r < 1), a melambangkan proporsi pertumbuhan awal, c melambangkan batas-jenuh pertumbuhan N (merupakan asimtot atas), sedangkan t adalah indeks waktu.


Kurva Belajar

y=m-se-kx k, m, s>0

Untuk diterapkan pada kasus perilaku produksi dalam hubungannya dengan variabel waktu, notasinya dapat disesuaikan menjadi : 

P=Pm-Psert
Model Efisiensi Wright
Hubungan antara jumlah produksi dan tahap pelipatgandaan produksi dapat diterangkan dengan persamaan : 

qk=q0.2k

Hubungan eksponensial antara waktu produksi rata-rata kumulatif (t) dan tahap pelipatgandaan produksi (k) ditunjukkan oleh persamaan : 

t=ark

Bentuk anti-log persamaan inilah yan disebut model efisiensi wright, yakni :

t=aqb b=logr0,3010

Waktu produksi total dapat dihitung dengan cara mengalikan waktu produksi rata-rata komulatif (t) terhadap jumlah produksinya (q): 

T=t×q=aqb×q=aqt+b



































DAFTAR RUJUKAN

Dumairy. 1991. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE
H. Johanes & Budiono Sri Handoko. 1980. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta: LP3ES
Universitas Negeri Malang. 2000. Pedoman Penulisan Karya Ilmiah. Malang: Biro administrasi Akademik, Perencanaan, dan Sistem Informasi